Question

7．已知拋物線y=x²+bx+c過(guò)點(diǎn)（1，-5），（0，-10）．
（1）拋拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)P（m，m）在拋物線上．則點(diǎn)P稱為這條拋物線的“固定點(diǎn)”
①求出這條拋物線上所有的“固定點(diǎn)“的坐標(biāo)；
②將拋物線向上平移k個(gè)單位后，拋物線上恰好只有一個(gè)“固定點(diǎn)“，求k的值．

Answer 1

分析 （1）把兩已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=-5}\\{c=-10}\end{array}\right.$，然后解方程求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）①利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把P（m，m）代入（1）中的解析式得m²+4m-10=m，解此方程得m₁=-5，m₂=2，于是得到這條拋物線上“固定點(diǎn)”的坐標(biāo)為（-5，-5），（2，2）；
②利用拋物線平移的規(guī)律，拋物線向上平移k個(gè)單位后所得拋物線解析式為y=x²+4x-10+k，再把P（m，m）代入后整理得m²+3m-10+k=0，根據(jù)題意，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，于是利用根的判別式的意義得△=3²-4（-10+k）=0，然后解此方程即可得到k的值．

解答 解：（1）把（1，-5），（0，-10）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=-5}\\{c=-10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-10}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=x²+4x-10；
（2）①把P（m，m）代入y=x²+4x-10得m²+4m-10=m，
整理得m²+3m-10=0，解得m₁=-5，m₂=2，
所以這條拋物線上所有“固定點(diǎn)”的坐標(biāo)為（-5，-5），（2，2）；
②拋物線向上平移k個(gè)單位后所得拋物線解析式為y=x²+4x-10+k，
把P（m，m）代入得m²+mx-10+k=m，
整理得m²+3m-10+k=0，
因?yàn)閽佄锞�上恰好只有一個(gè)“固定點(diǎn)”，即此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
所以△=3²-4（-10+k）=0，
解得k=$\frac{49}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和拋物線的幾何變換．