Question

2．觀察下列各式：
-1×$\frac{1}{2}$=-1+$\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$；
-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$；
…
（1）分別寫(xiě)出第4個(gè)等式和第5個(gè)等式；
（2）用規(guī)律計(jì)算（-1×$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$）+（-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$）+…+（-$\frac{1}{2012}$×$\frac{1}{2013}$）+（-$\frac{1}{2013}$×$\frac{1}{2014}$）．

Answer 1

分析 （1）先分別觀察等號(hào)左右兩邊的特點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)是一樣的只是左邊是乘法計(jì)算，右邊是加法計(jì)算，所以只要找到左邊的變化規(guī)律，右邊變?yōu)榧臃�即可．等�?hào)左邊的3個(gè)式子中，分子都是1，而分母分別是連續(xù)的整數(shù)，把分母分別與式子的序號(hào)找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，如“×”前面的負(fù)分?jǐn)?shù)中分子都是1，第1個(gè)式子的分母是1，第2個(gè)式子的分母是2，第3個(gè)式子的分母是3，所以可推出第4個(gè)式子的分母是4，第5個(gè)式子的分母是5，第n個(gè)式子的分母是n，即第n個(gè)分?jǐn)?shù)為：-$\frac{1}{n}$，同理可找到“×”后面的分?jǐn)?shù)為$\frac{1}{n+1}$，從而得到第n個(gè)式子為：-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$．
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律把式子變形，中間部分相互抵消，只剩下首項(xiàng)和末項(xiàng)，即可算出答案．

解答 解：（1）觀察各個(gè)式子可以發(fā)現(xiàn)：這3個(gè)式子中等號(hào)左邊的規(guī)律：“×”前面的負(fù)分?jǐn)?shù)中分子都是1，第1個(gè)式子的分母是1，第2個(gè)式子的分母是2，第3個(gè)式子的分母是3，所以可推出第4個(gè)式子的分母是4，第5個(gè)式子的分母是5，第n個(gè)式子的分母是n；“×”后面的分?jǐn)?shù)中，分子都是1，第1個(gè)式子的分母是2，第2個(gè)式子的分母是3，第3個(gè)式子的分母是4，所以可推出第4個(gè)式子的分母是5，第5個(gè)式子的分母是6，第n個(gè)式子的分母是n+1；這3個(gè)式子中等號(hào)右邊的規(guī)律是把等號(hào)左邊式子中的“×”改為“+”，所以第4個(gè)等式為：-$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{5}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$，第5個(gè)式子為：-$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{6}$=-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$；第n個(gè)式子為：-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$．
（2）由（1）中的規(guī)律“-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$”把式子進(jìn)行變形可得：
（-1×$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$）+（-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$）+…+（-$\frac{1}{2012}$×$\frac{1}{2013}$）+（-$\frac{1}{2013}$×$\frac{1}{2014}$）
=-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…-$\frac{1}{2012}$+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2013}$+$\frac{1}{2014}$
=1+$\frac{1}{2014}$
=$\frac{2015}{2014}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，此類(lèi)規(guī)律題要分別找到等式左邊和右邊的規(guī)律，尋找不變的量和變化的量，本題中不變的量是分?jǐn)?shù)中的分子1，負(fù)號(hào)“-”，變化的量是分?jǐn)?shù)中分母，所以要從分母中找到變化的規(guī)律，從而找到這個(gè)等式的變化規(guī)律：-$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$．