Question

△CDE和△AOB是兩個等腰直角三角形，∠CDE=∠AOB=90°，DC=DE=1，OA=OB=a（a＞1）．
（1）將△CDE的頂點D與點O重合，連接AE，BC，取線段BC的中點M，連接OM．
①如圖1，若CD，DE分別與OA，OB邊重合，則線段OM與AE有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結果；
②如圖2，若CD在△AOB內部，請你在圖2中畫出完整圖形，判斷OM與AE之間的數量關系是否有變化？寫出你的猜想，并加以證明；
③將△CDE繞點O任意轉動，寫出OM的取值范圍（用含a式子表示）；
（2）是否存在邊長最大的△AOB，使△CDE的三個頂點分別在△AOB的三條邊上（都不與頂點重合）？如果存在，請你畫出此時的圖形，并求出邊長a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）①利用△CDE≌△AOB得出BC=AE，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解．
②作輔助線，利用△COF≌△EOA及三角形中位線得出OM=

1

2

AE．
③分兩種情況，當OC與OB重合時OM最大，當OC在BO的延長線上時OM最小，據此求出OM的取值范圍．
（2）分兩種情況：當頂點D在斜邊AB上時，設點C，點E分別在OB，OA上．由DM+OM≥OF求出直角邊a的最大值；當頂點D在直角邊AO上時，點C，點E分別在OB，AB上時，利用
△EHD≌△DOC，得出OD=EH，在Rt△DHE中，運用勾股定理ED²=DH²+EH²，得出方程，由△判定出a的最大值．

解答：解：（1）①∵△CDE和△AOB是兩個等腰直角三角形，
∴CD=ED，AO=B0，∠CDE=∠AOB，
在△CDE和△AOB中，

CD=ED ∠CDE=∠AOB AO=BO

，
∴△CDE≌△AOB（SAS），
∴BC=AE
∵M為BC中點，
∴OM=

1

2

BC，
∴OM=

1

2

AE．
②猜想：OM=

1

2

AE．
證明：如圖2，延長BO到F，使OF=OB，連接CF，

∵M為BC中點，
∴OM=

1

2

CF，
∵△CDE和△AOB是兩個等腰直角三角形，
∴CD=ED，AO=BO=OF，∠CDE=∠AOB，
∵∠AOC+∠COB=∠BOE+∠COB=90°，
∴∠AOC=∠BOE，
∠FOC=∠AOE，
在△COF和△EOA中，

CD=ED ∠FOC=∠AOE OF=AO

，
∴△COF≌△EOA，
∴CF=AE，
∴OM=

1

2

AE．
③Ⅰ、如圖3，當OC與OB重合時，OM最大，

OM=

a-1

2

+1=

a+1

2

，
Ⅱ、如圖4，當OC在BO的延長線上時，OM最小，

OM=

a+1

2

-1=

a-1

2

，
所以

a-1

2

≤OM≤

a+1

2

，
（2）解：根據△CDE的對稱性，只需分兩種情況：
①如圖5，

當頂點D在斜邊AB上時，設點C，點E分別在OB，OA上． 作OF⊥AB于點F，取CE的中點M，連接OD，MD，OM．
∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB=∠CDE=90°，OA=OB=a（a＞1），DC=DE=1，?????
∴AB=

2

a，OF=

1

2

AB=

2

2

a，
∴CE=

2

，DM=

1

2

CE=

2

2

，
在RT△COE中，OM=

1

2

CE=

2

2

，
在RT△DOM中，DM+OM≥OD，
又∵OD≥OF，
∵DM+OM≥OF，即

2

2

+

2

2

≥

2

2

a，
∴a≤2，
∴直角邊a的最大值為2．
②如圖6，

當頂點D在直角邊AO上時，點C，點E分別在OB，AB上，作EH⊥AO于點H．
∵∠AOB=∠CDE=∠DHE=90°，
∵∠HED+∠EDH=∠CDO+∠EDH=90°，
∴∠HED=∠CDO，
∵DC=DE，
在△EHD和△DOC中，

∠EHD=∠COD ∠HED=∠CDO DE=DC

∴△EHD≌△DOC（AAS）
設OD=x，
∴OD=EH=AH=x，DH=a-2x，
在Rt△DHE中，ED²=DH²+EH²，
∴1=x²+（a-2x）²，
整理得，5x²-4ax+a²-1=0，
∵x是實數，
∴△=（4a）²-4×5×（a²-1）=20-4a²≥0，
∴a²≤5，
∴a²的最大值為5，
∴a的最大值為

5

．?
綜上所述，a的最大值為

5

．???

點評：本題主要考查了幾何變換綜合題及三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是在取最大值時，對三角形的位置進行討論分別求值．