Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（-3，0）、B（1，0），與y軸交于點C．點P為線段AC上一點（不與點A、C重合），PH⊥y軸于點H，PQ∥y軸交拋物線于點Q，QG⊥y軸于點G．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求a、b的值和直線AC所對應(yīng)的函數(shù)表達式．
（2）用含m的代數(shù)式表示矩形PQGH的周長．
（3）當(dāng)直線AC經(jīng)過矩形PQGH一邊中點時，直接寫出此時m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得Q、P的坐標(biāo)，根據(jù)線段的差，可得PQ的長，PH的長，根據(jù)矩形的周長公式，可得答案；
（3）分類討論：AC經(jīng)過GQ的中點，AC經(jīng)過HQ的中點，根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點A（-3，0）、B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴a的值為-1，b的值為-2；
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（-3，0）C（0，3）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=x+3；
（2）P（m，m+3），Q（m，-m²-2m+3），PQ=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m，PH=-m，
矩形PQGH的周長為：2（PQ+PH）=2（-m²-3m-m）=-2m²-8m．
（3）當(dāng)AC經(jīng)過QG的中點（$\frac{m}{2}$，-m²-2m+3）時，$\frac{m}{2}$+3=-m²-2m+3，
解得m=-$\frac{5}{2}$，m=0（不符合題意，舍）；
當(dāng)AC經(jīng)過GH的中點（0，$\frac{-{m}^{2}-m+6}{2}$）時，$\frac{-{m}^{2}-m+6}{2}$=3，
解得m=0（不符合題意，舍）或m=-1，
綜上所述：當(dāng)直線AC經(jīng)過矩形PQGH一邊中點時，m的值為-$\frac{5}{2}$或-1．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用線段的和差得出PQ的長，又利用了矩形的周長公式；（3）利用圖象上的點滿足函數(shù)解析式得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．