【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2cm,∠DAB60°.點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā),以cm/s的速度,沿ACC作勻速運(yùn)動(dòng);與此同時(shí),點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度,沿射線AB作勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),PQ都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts).

1)對角線AC的長是 cm;

2)當(dāng)P異于A、C時(shí),請說明PQBC;

3)以P為圓心、PQ長為半徑作圓,請問:在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,t為怎樣的值時(shí),⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)?

【答案】(1)2$\sqrt{3}$;(2)見解析;(3)當(dāng)t461t≤3t2時(shí),⊙P與菱形ABCD的邊BC1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)46t≤1時(shí),⊙P與邊BC2個(gè)公共點(diǎn)

【解析】

1)連接BDAC于點(diǎn)O,由菱形的性質(zhì)可知AOB為直角三角形且∠OAB=30°,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AO的長,從而得到AC的長;
2)連接BDACO,構(gòu)建直角三角形AOB.利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質(zhì)推知PAQ∽△CAB;然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等證得∠APQ=ACB;最后根據(jù)平行線的判定定理同位角相等,兩直線平行可以證得結(jié)論;
3)如圖2,⊙PBC切于點(diǎn)M,連接PM,構(gòu)建RtCPM,在RtCPM利用特殊角的三角函數(shù)值求得PM=PC=,然后根據(jù)PM=PQ=AQ=t列出關(guān)于t的方程,通過解方程即可求得t的值;
如圖3,⊙P過點(diǎn)B,此時(shí)PQ=PB,根據(jù)等邊三角形的判定可以推知PQB為等邊三角形,然后由等邊三角形的性質(zhì)以及(2)中求得t的值來確定此時(shí)t的取值范圍;
如圖4,⊙P過點(diǎn)C,此時(shí)PC=PQ,據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程,通過解方程求得t的值.

1)連接BDAC于點(diǎn)O

ABCD為菱形,∠DAB60°,

∴∠OAB30°,∠AOB90°,AOCO

AOAB×

AC2

故答案為:2

2)∵四邊形ABCD是菱形,且菱形ABCD的邊長為2cm,

ABBC2,∠BACDAB,

又∵∠DAB60°(已知),

∴∠BAC=∠BCA30°

如圖1,連接BDACO

∵四邊形ABCD是菱形,

ACBD,OAAC,

OBAB130°角所對的直角邊是斜邊的一半),

OAcm),AC2OA2cm),

運(yùn)動(dòng)ts后,AP t,AQt,

= =,

又∵∠PAQ=∠CAB,

∴△PAQ∽△CAB

∴∠APQ=∠ACB(相似三角形的對應(yīng)角相等),

PQBC(同位角相等,兩直線平行)

2)如圖2,⊙PBC切于點(diǎn)M,連接PM,則PMBC

RtCPM中,∵∠PCM30°,∴PMPC,由PMPQAQt,即t

解得t46,此時(shí)⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn);

如圖3,⊙P過點(diǎn)B,此時(shí)PQPB

∵∠PQB=∠PAQ+APQ60°

∴△PQB為等邊三角形,∴QBPQAQt,∴t1

∴當(dāng)46t≤1時(shí),⊙P與邊BC2個(gè)公共點(diǎn).

如圖4,⊙P過點(diǎn)C,此時(shí)PCPQ,即2tt,∴t3

∴當(dāng)1t≤3時(shí),⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,即t2時(shí)PC重合,QB重合,也只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn),

∴當(dāng)t461t≤3t2時(shí),⊙P與菱形ABCD的邊BC1個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)46t≤1時(shí),⊙P與邊BC2個(gè)公共點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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1)該班參與本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有多少人;

2)請補(bǔ)全圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)在圖2的扇形統(tǒng)計(jì)圖中,騎車所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少度.

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1)求證:無論為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CDABH,G為⊙O上一點(diǎn),連接AGCDK,在CD的延長線上取一點(diǎn)E,使EG=EK,EG的延長線交AB的延長線于F

1)求證:EF是⊙O的切線;

2)連接DG,若ACEF時(shí).

①求證:KGD∽△KEG;

②若,AK=,求BF的長.

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(1)求直線l的解析式;

(2)過點(diǎn)Pl的平行線交直線yx于點(diǎn)D,當(dāng)m3時(shí),求△PCD的面積;

(3)是否存在點(diǎn)P,使得△PCA成為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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yx的函數(shù)關(guān)系式;

物價(jià)部門規(guī)定:這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)不得超過每件80元,那么,當(dāng)銷售單價(jià)x定為每件多少元時(shí),廠家每月獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

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