【題目】已知△ABC的一條邊BC的長(zhǎng)為5,另兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
(1)求證:無(wú)論為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
(2)為何值時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形。
(3)為何值時(shí),△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周長(zhǎng)。
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)當(dāng)時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;(3)或,周長(zhǎng)為14或16.
【解析】
(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=1>0,由此即可得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)利由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得:,,根據(jù)BC=5利用勾股定理即可得出關(guān)于k的一元二次方程,解方程即可得出k的值;
(3)根據(jù)(1)結(jié)論可得出AB≠AC,由此可找出△ABC是等腰三角形分兩種情況,分AB=BC、AC=BC兩種情況考慮,根據(jù)兩邊相等找出關(guān)于k的一元一次方程,解方程求出k值,進(jìn)而可得出三角形的三邊長(zhǎng),再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論.
解:(1)∵
,
∴無(wú)論為何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)∵AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得:,,
又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形,由勾股定理,得:,
即,
∴,
整理,得:,解得:,,
∵AB、AC是△ABC的兩條邊,∴AB>0,AC>0,∴AB+AC>0
而當(dāng)時(shí),AB+AC=2×(-5)+3=-7<0,∴不合題意,舍去,故,
∴當(dāng)時(shí),△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;
(3)由(1)的結(jié)論可知,,∴BC邊只能是腰,
∴AB、AC中必有一邊長(zhǎng)為5,不妨設(shè)AB=5,
也就是說(shuō)關(guān)于的一元二次方程必有一根為5,
∴,整理得:,解得:,,
當(dāng)時(shí),原方程為,兩根為:,,這時(shí)有AB=5,AC=4,BC=5能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形,其周長(zhǎng)為14,
當(dāng)時(shí),原方程為,兩根為:,,這時(shí)有AB=5,AC=6,BC=5能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形,其周長(zhǎng)為16.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形四邊形ABCD中,,,對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P為直線(xiàn)BD上的動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B重合,連接AP,將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段PE,連接CE、BE.
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)BD上時(shí),線(xiàn)段BP與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____;______
拓展探究
如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BO延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
問(wèn)題解決
當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,∠ABD+∠BDC=90°,則ABCD的面積為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)如圖1,拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為E,EF⊥x軸于F點(diǎn),M(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn),N是線(xiàn)段EF上一點(diǎn),若∠MNC=90°,請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍,并說(shuō)明理由.
(3)如圖2,將拋物線(xiàn)平移,使其頂點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合,直線(xiàn)y=kx+2(k>0)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P在左邊),過(guò)點(diǎn)P作x軸平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)H,當(dāng)k發(fā)生改變時(shí),請(qǐng)說(shuō)明直線(xiàn)QH過(guò)定點(diǎn),并求定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解全校學(xué)生上學(xué)的交通方式,該校九年級(jí)班的4名同學(xué)聯(lián)合設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問(wèn)卷,對(duì)該校部分學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查按騎自行車(chē)、乘公交車(chē)、步行、乘私家車(chē)、其他方式設(shè)置選項(xiàng),要求被調(diào)查同學(xué)從中單選,并將調(diào)查結(jié)果繪制成條形統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2,根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
本次接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)是______人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“乘私家車(chē)的人數(shù)所占的百分比是______,“其他方式”所在扇形的圓心角度數(shù)是______度;
已知這4名同學(xué)中有2名女同學(xué),要從中選兩名同學(xué)匯報(bào)調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法,求出恰好選出1名男生和1名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在∠MON的邊ON上,AB⊥OM于B,AE=OB,DE⊥ON于E,AD=AO,DC⊥OM于C.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若DE=3,OE=9,求AB、AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,∠DAB=60°.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以cm/s的速度,沿AC向C作勻速運(yùn)動(dòng);與此同時(shí),點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā),以1cm/s的速度,沿射線(xiàn)AB作勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),P、Q都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).
(1)對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)是 cm;
(2)當(dāng)P異于A、C時(shí),請(qǐng)說(shuō)明PQ∥BC;
(3)以P為圓心、PQ長(zhǎng)為半徑作圓,請(qǐng)問(wèn):在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,t為怎樣的值時(shí),⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知正比例函數(shù) y1=﹣2x 的圖象與反比例函數(shù) y2=的圖象交于 A(﹣1,a),B 兩點(diǎn).
(1)求出反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn) B 的坐標(biāo);
(2)觀察圖象,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足 y≤2 的取值范圍;
(3)點(diǎn) P 是第四象限內(nèi)反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn),若△POB 的面積為 1,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,G為CD邊中點(diǎn),連接AG并延長(zhǎng),分別交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F,交BC邊延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.若FG=2,則AE的長(zhǎng)度為( )
A. 6B. 8
C. 10D. 12
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