Question

如圖，直線y=-

1

2

x+4與x軸與y軸分別交于點(diǎn)A、C，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸是直線x=

5

2

，過點(diǎn)C作CB∥x軸交該拋物線于點(diǎn)B，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)是D，連結(jié)AB．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求證：CA平分∠BAD；
（3）兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．其中，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著線段0A向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（0＜t＜4），△PQA的面積記為S．
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
③直線AC能否垂直平分線段PQ？若能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），由直線y=-

1

2

x+4的解析式易求A和D的坐標(biāo)，再把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a的值即可求出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，由拋物線的對(duì)稱性知B（5，4），由此求出AB=BC，再有已知條件證明∠BAC=∠DAC即可：
（3）①過Q點(diǎn)作QG⊥x軸于G，由BH∥QG，所以看得：△ABH∽△AQG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；②把①中的函數(shù)關(guān)系式配方即可求出當(dāng)t取2時(shí)，s取到最大值；③直線AC能垂直平分線段PQ，因?yàn)镃A平分∠BAD，所以當(dāng)AQ=AP時(shí)，AC垂直平分線段PQ，由此可求出t的值．

解答：解：（1）對(duì)于直線y=-

1

2

x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=8．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=

5

2

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)所求的拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+3）（x-8），
把點(diǎn)C（0，4）代入上式，得4=a（0+3）（0-8），
解得a=-

1

6

．
∴所求的拋物線函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

6

(x+3)(x-8)，
即y=-

1

6

x2+

5

6

x+4；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，
由拋物線的對(duì)稱性知B（5，4），
∴AB=BC=5，
∴∠ACB=∠BAC，
又∵CB∥x軸
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC，
∴CA平分∠BAD，
（3）①過Q點(diǎn)作QG⊥x軸于G，
∵BH∥QG，
∴△ABH∽△AQG，
由AQ=t，可得QG=

4

5

t，
又∵OP=2t，
∴AP=8-2t，
∴S=

1

2

×

4

5

t(8-2t)=-

4

5

t2+

16

5

t，
②S=-

4

5

t2+

16

5

t=-

4

5

(t-2)2+

16

5

，
∵-

4

5

＜0，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值為

16

5

，
③直線AC能垂直平分線段PQ，理由如下：
∵CA平分∠BAD，
∴當(dāng)AQ=AP時(shí)，AC垂直平分線段PQ，
即t=8-2t，
得t=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象和坐標(biāo)軸交點(diǎn)的問題、二次函數(shù)的最值問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．