Question

如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A．過點(diǎn)P的任一直線交⊙O于B、C兩點(diǎn)，連接AB、AC，連接PO并延長交⊙O于D、E兩點(diǎn)．
（1）求證：∠PAB=∠C；
（2）如果PA²=PD•PE，則當(dāng)PA=2，PD=1時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過A點(diǎn)作直徑AF，連接BF，求得∠ABF=90°，即∠F+∠BAF=90°，PA切⊙O于點(diǎn)A．得出∠PAF=90°，即∠PAB+∠BAF=90°，從而求得∠PAB=∠F，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠F=∠C，進(jìn)而求得∠PAB=∠C；
（2）根據(jù)切割線定理得出PA²=PD•PE，進(jìn)而求得PE=4，因?yàn)镈E=PE-PD，即可求得圓的直角，從而求得圓的半徑．

解答：（1）證明：過A點(diǎn)作直徑AF，連接BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠F+∠BAF=90°，
∵PA切⊙O于點(diǎn)A．
∴∠PAF=90°，
∴∠PAB+∠BAF=90°
∴∠PAB=∠F，
∵∠F=∠C，
∴∠PAB=∠C；

（2）解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，PDE是⊙O的割線，
∴PA²=PD•PE，
∵PA=2，PD=1，
∴PE=4，
∴DE=PE-PD=4-1=3，
∴OD=OE=

3

2

，
∴⊙O的半徑為

3

2

；

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，切割線定理等，是中檔題，解題時(shí)要注意圓周角定理的應(yīng)用和切割線定理的合理運(yùn)用．