Question

10．如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，邊AE上有一動點P（不與A，E重合）自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE的平行線交DE于點N．
（1）直接寫出D，E兩點的坐標，D（0，$\frac{5}{2}$），E（2，4．）
（2）求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數(shù)關系式；當t取何值時，S有最大值？
（3）當t為何值時，DP平分∠EDA？
（4）當t為何值時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進而可求出CE的長，也就得出了E點的坐標．在直角三角形CDE中，CE長已經(jīng)求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點的坐標；
（2）很顯然四邊形PMNE是個矩形，可用時間t表示出AP，PE的長，然后根據(jù)相似三角形APM和AED求出PM的長，進而可根據(jù)矩形的面積公式得出S，t的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對應的t的值；
（3）由DP是∠EDA的角平分線可知：PE=PM，然后結合相似三角形的性質(zhì)列出關于t的方程，最后再求解即可；
（4）本題要分三種情況進行討論：（Ⅰ）ME=MA時，此時MP為三角形ADE的中位線，那么AP=$\frac{AE}{2}$，據(jù)此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點的橫坐標為A點橫坐標的一半，縱坐標為D點縱坐標的一半．由此可求出M的坐標．（Ⅱ）當MA=AE時，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據(jù)相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據(jù)折疊的性質(zhì)，此時AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐標；（Ⅲ）EM=EA的情況不成立．

解答 解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，
∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=3．
∴CE=2．
∴E點坐標為（2，4）．
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，
又∵DE=OD．
∴（4-OD）²+2²=OD²．
解得：OD=$\frac{5}{2}$．
∴D點坐標為（0，$\frac{5}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{5}{2}$）；（2，4）．
（2）∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴$\frac{PM}{ED}$=$\frac{AP}{AE}$，
∴PM=$\frac{AP•ED}{AE}$．
又∵AP=t，ED=$\frac{5}{2}$，AE=5，
∴PM=$\frac{\frac{5}{2}t}{5}$=$\frac{t}{2}$．
∵PM∥DE，MN∥EP，
∴四邊形NMPE為平行四邊形．
又∵∠DEA=90°，
∴四邊形PMNE為矩形．
∴S_矩形PMNE=PM•PE=$\frac{t}{2}×（5-t）$=-$\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{5}{2}t$．
∴S_矩形PMNE=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
又∵0＜$\frac{5}{2}$＜5．
∴當t=$\frac{5}{2}$時，S_矩形PMNE有最大值$\frac{25}{8}$．
（3）∵四邊形NMPE是矩形，
∴PM⊥AD，PE⊥DE．
又∵DP平分∠EDA，
∴PE=PM．
由（2）可知：PM=$\frac{t}{2}$，PE=5-t．
∴$\frac{t}{2}$=5-t．
解得：t=$\frac{10}{3}$．
∴當t=$\frac{10}{3}$時，DP平分∠EDA．
（4）（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，
∵PM⊥AE，
∴P為AE的中點，
∴t=AP=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$．
又∵PM∥ED，
∴M為AD的中點．
過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，
∴MF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{5}{4}$，OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴當t=$\frac{5}{2}$時，（0＜$\frac{5}{2}$＜5），△AME為等腰三角形．
此時M點坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．
過點M作MF⊥OA，垂足為F．
∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$．
∴t=AP=$\frac{AM•AE}{AD}$=$\frac{5×5}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴PM=$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{5}$．
∴MF=MP=$\sqrt{5}$，OF=OA-AF=OA-AP=5-2$\sqrt{5}$，
∴當t=2$\sqrt{5}$時，（0＜2$\sqrt{5}$＜5），此時M點坐標為（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
（Ⅲ）根據(jù)圖形可知EM=EA的情況不成立．
綜合綜上所述，當t=$\frac{5}{2}$或t=2$\sqrt{5}$時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，相應M點的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、圖形的翻折變換、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應用，由以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形進行分類討論是解題的關鍵．