Question

6．如圖，AB是⊙O直徑，切線CA與⊙O相切于點A，點D在⊙O上，且OD⊥OC，
（1）填空：∠ADB=90°°，理由是直徑所對的圓周角是直角；
（2）若⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，AD=2，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由于AB是⊙O的直徑，根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”可直接得出結(jié)論；
（2）首先利用勾股定理得出BD的長，作DE⊥OA，垂足為E，證得△ADB∽△DEB，利用相似三角形的性質(zhì)可得DE，BE，可得OE，由AC是⊙O的切線，得到AC⊥OA，于是得到∠ACO+∠AOC=90°，又由于OD⊥OC，得到∠AOC+∠AOD=90°，推出△DEO∽△OAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
理由是直徑所對的圓周角是直角；
故答案為：90°，直徑所對的圓周角是直角；

（2）作DE⊥OA，垂足為E，
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=2$\sqrt{5}$，
∴BD=4，
∵∠DEB=∠ADB，∠B=∠B，
∴△ADB∽△DEB，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{BE}{BD}$，即$\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{DE}{2}=\frac{BE}{4}$，
解得：DE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵AC是⊙O的切線，
∴AC⊥OA，
∴∠ACO+∠AOC=90°，
∵OD⊥OC，
∴∠AOC+∠AOD=90°，
∴∠ACO=∠AOD，
∵∠DEO=90°=∠OAC，
∴△DEO∽△OAC，
∴$\frac{DE}{OA}$=$\frac{OE}{AC}$，
∴$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{AC}$，
解得：AC=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，作DE⊥OA，構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．