Question

9．演繹式探究--研究宇宙中的雙星問(wèn)題：
（1）宇宙中任何兩個(gè)物體之間都存在萬(wàn)有引力，萬(wàn)有引力的大小
F_引=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中k為常量，m₁、m₂分別為兩個(gè)物體的質(zhì)量，r為兩個(gè)物體間的距離．
物體做圓周運(yùn)動(dòng)的快慢可以用它與圓心連線掃過(guò)角度的快慢來(lái)描述，用角速度ω來(lái)表示．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期，用T表示．T與ω的關(guān)系為：T=$\frac{2π}{ω}$．
物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)需要受到指向圓心的力叫做向心力．質(zhì)量為m的物體以角速度ω做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力的大小F_心=mω²r，則在m與ω一定時(shí)，F(xiàn)_心與r的關(guān)系可用圖甲中的圖線b表示．
（2）被相互引力系在一起、互相繞轉(zhuǎn)的兩顆星叫物理雙星，雙星是繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的一對(duì)恒星，各自需要的向心力由彼此的萬(wàn)有引力相互提供，轉(zhuǎn)動(dòng)的周期和角速度都相同．如圖乙所示，質(zhì)量為m₁、m₂的雙星，運(yùn)動(dòng)半徑分別為r₁、r₂，它們之間的距離L=r₁+r₂．
請(qǐng)推理證明：周期T=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

Answer 1

分析 （1）先確定是什么函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)來(lái)判斷．比如：正比例函數(shù)是過(guò)原點(diǎn)的直線，反比例函數(shù)是雙曲線，一次函數(shù)是直線，二次函數(shù)是拋物線．
（2）利用數(shù)學(xué)手段來(lái)推理證明．

解答 解：（1）向心力大小的函數(shù)關(guān)系式為：F_心=mω²r，在m與ω一定時(shí)，F(xiàn)_心與r是正比例函數(shù)關(guān)系，所以圖象是過(guò)原點(diǎn)的一條直線，故選b．
（2）證明：
因?yàn)镕₁=F₂=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$，F(xiàn)₁=m₁ω²r₁，F(xiàn)₂=m₂ω²r₂，
所以r₁=$\frac{k{m}_{2}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$，r₂=$\frac{k{m}_{1}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$，
則L=r₁+r₂=$\frac{k{m}_{2}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$+$\frac{k{m}_{1}}{{ω}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{ω}^{2}{L}^{2}}$，
上式變形可得：ω²=$\frac{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}$，
所以T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{k（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$
故答案為：（1）b；（2）證明過(guò)程同上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查物理圖線及公式變換的知識(shí)，考查學(xué)生對(duì)物理與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合的能力及推導(dǎo)物理公式的能力，較多地利用數(shù)學(xué)手段，是一道難題．