Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F(xiàn)為棱BB₁的中點，M為線段AC₁的中點．
（1）求證：FM∥平面ABCD；
（2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）延長C₁F交CB的延長線于點N，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MF∥AN，從而證明MF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DANB為平行四邊形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC₁A₁，從而證得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

解答： 證明：（1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN．
∵F是BB₁的中點，
∴F為C₁N的中點，B為CN的中點．
又M是線段AC₁的中點，
故MF∥AN．
又MF不在平面ABCD內(nèi)，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
（2）連BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，可知A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，∴四邊形DANB為平行四邊形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，
又∵NA?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查平面與平面垂直的判斷，考查推理分析與運算能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用，屬于中檔題．