Question

2014年6月12號(hào)，第二十屆世界杯在巴西拉開帷幕，比賽前，某網(wǎng)站組織球迷對(duì)巴西、西班牙、意大利、德國四支奪冠熱門球隊(duì)進(jìn)行競(jìng)猜，每位球迷可從四支球隊(duì)中選出一支球隊(duì)，現(xiàn)有三人參與競(jìng)猜．
（1）若三人中每個(gè)人可以選擇任一球隊(duì)，且選擇各個(gè)球隊(duì)是等可能的，求四支球隊(duì)中恰好有兩支球隊(duì)被選擇的概率；
（2）若三人中只有一名女球迷，假設(shè)女球迷選擇巴西隊(duì)的概率為

1

3

，男球迷選擇巴西隊(duì)的概率為

1

4

，記ξ為三人中選擇巴西隊(duì)的人數(shù)，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知條件能求出利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出四支球隊(duì)中恰好有兩支球隊(duì)被選擇的概率．
（2）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答： 解：（1）四支球隊(duì)中恰好有兩支球隊(duì)被選擇的概率：
p=4×

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)=

9

16

．
（2）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）（1-

1

4

）（1-

1

4

）=

3

8

，
P（ξ=1）=

1

3

•（1-

1

4

）（1-

1

4

）+（1-

1

3

）•

1

4

•(1-

1

4

)+（1-

1

3

）（1-

1

4

）•

1

4

=

7

16

，
P（ξ=2）=

1

3

•

1

4

•(1-

1

4

)+

1

3

•(1-

1

4

)•

1

4

+（1-

1

3

）•

1

4

•

1

4

=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

3

•

1

4

•

1

4

=

1

48

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	3 8	7 16	1 6	1 48

∴Eξ=0×

3

8

+1×

7

16

+2×

1

6

+3×

1

48

=

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都有是必考題型．