Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（-1）ⁿ•n，若對(duì)任意正整數(shù)n，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)P的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．由于對(duì)任意正整數(shù)n，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，分類討論：n是奇數(shù)時(shí)，求得p的取值范圍；當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，求得p的取值范圍，再求其交集即可．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿn-（-1）^n-1（n-1）=（-1）ⁿ（2n-1）．
∵對(duì)任意正整數(shù)n，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，
∴[（-1）ⁿ⁺¹（2n+1）-p][（-1）ⁿ（2n-1）-p]＜0，
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，化為[p-（2n+1）][p+（2n-1）]＜0，解得1-2n＜p＜2n+1，
∵對(duì)任意正奇數(shù)n都成立，取n=1時(shí)，可得-1＜p＜3．
②當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，化為[p-（2n-1）][p+（1+2n）]＜0，解得-1-2n＜p＜2n-1，
∵對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，取n=2時(shí)，可得-5＜p＜3．
聯(lián)立

-1＜p＜3 -5＜p＜3

，解得-1＜p＜3．
∴實(shí)數(shù)P的取值范圍是（-1，3）．
故答案為：（-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n的方法、交集的運(yùn)算法則、分類討論思想方法，屬于難題．