Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n+4，n∈N^*
（1）若a₁=1，試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在a₁，使{a_n}為等差數(shù)列？

Answer 1

考點：等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）再寫一式，兩式相減可知∴{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別是公差為4的等差數(shù)列． 從而分段可寫出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．求出解得，d=2，a₁=3，繼而得出答案．

解答： 解：（1）由a_n+1+a_n=4n+4，
∴a_n+2+a_n+1=4（n+1）+4=4n+8
∴a_n+2-a_n=4
∴{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別是公差為4的等差數(shù)列．
又a₁=1，
∴a₂=7
∴an=

4n-3，   n為正奇數(shù) 4n+3，n為正偶數(shù)

（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．
由a_n+1+a_n=4n+4，得（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=4n+4，即2d=4，2a₁-d=4，
解得，d=2，a₁=3，
所以存在存在a₁=3，使{a_n}為等差數(shù)列．

點評：本題考查了等差數(shù)列的定義和通項公式，屬于中檔題．