Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

sinθ

3

x³+

3 cosθ

2

x²，其中θ∈[0，

π

2

]，則導數(shù)f′（1）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：求出函數(shù)的導數(shù)，即可判斷f′（1）的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

sinθ

3

x³+

3 cosθ

2

x²，
∴f’（x）=3×

sinθ

3

x²+2×

3 cosθ

2

x=sinθx²+

3

cosθx，
∴f’（1）=sinθ+

3

cosθ=2sin（θ+

π

3

）
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴θ+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴1≤2sin（θ+

π

3

）≤2，
即f′（1）的取值范圍是[1，2]，
故答案為：[1，2]．

點評：本題主要考查導數(shù)值的計算，利用導數(shù)公式求出函數(shù)的導數(shù)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查學生的計算能力．