Question

在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=105°，過邊AC上一點(diǎn)D作直線DE，與邊AB或者BC相交于點(diǎn)E，使得∠CDE=60°，且DE將△ABC的面積兩等分，則(

CD

AC

)2=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：設(shè)AC=x，CD=y，則由正弦定理可得AB=

sin45°

sin105°

•x，DE=

sin45°

sin75°

•y，根據(jù)DE將△ABC的面積兩等分，可得

1

2

y•

sin45°

sin75°

•y•sin60°=

1

2

•

1

2

x•

sin45°

sin105°

•x•sin30°，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)AC=x，CD=y，則
由正弦定理可得

x

sin105°

=

AB

sin45°

，∴AB=

sin45°

sin105°

•x，
同理DE=

sin45°

sin75°

•y，
∵DE將△ABC的面積兩等分，
∴

1

2

y•

sin45°

sin75°

•y•sin60°=

1

2

•

1

2

x•

sin45°

sin105°

•x•sin30°，
∴

y2

x2

=

1

2sin60°

•

1

2

=

3

6

．
故答案為：

3

6

．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．