Question

設函數(shù)f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．
（1）當p=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數(shù)g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）（x≥1），求證：當p≤-

1

2

時，有g（x）≤0．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)大于0，求函數(shù)的單調增區(qū)間，導數(shù)小于0，求函數(shù)的單調減區(qū)間；
（2）對于任意實數(shù)x≥1，g（x）≤0恒成立，等價于xlnx+p（x²-1）≤0，設g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，故只須g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1時是減函數(shù)，再分離參數(shù)p，問題轉化為求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）當p=1時，f（x）=ln x-（x-1），f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）=0，∴x=1，∵x∈（0，+∞）
故函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）由題意函數(shù)g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）=xlnx+p（x²-1），
則xlnx+p（x²-1）≤0，
設g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，
故只須g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1時是減函數(shù)即可，
又因為g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1時恒成立，
即p≤-

lnx+1

2x

在x≥1時恒成立，
∵(-

lnx+1

2x

)′=

lnx

2x

=0時，x=1．
∴x=1時，-

lnx+1

2x

能取到最小值-

1

2

，
∴當p≤-

1

2

時，有g（x）≤0．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的運用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，同時考查了函數(shù)最值的運用，有一定的綜合性．