Question

如圖，MA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADNM為平行四邊形，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面BDN．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出四邊形MNCB是平行四邊形，平行四邊形MNCB對角線MC、NB相交且互相平分，設(shè)其交點(diǎn)為F，則NF=FB，連接EF，由三角形中位定理能證明AN∥平面MEC．
（ II） 連接BD，由線面垂直得MA⊥AC，由MA∥ND，得ND⊥AC，由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，由此能證明AC⊥平面BDN．

解答： 證明：（I）∵四邊形ABCD是菱形，四邊形ADNM是平行四邊形
∴MN∥AD∥BC且MN=AD=BC，
∴四邊形MNCB也是平行四邊形，…（2分）
∴平行四邊形MNCB對角線MC、NB相交且互相平分，設(shè)其交點(diǎn)為F，
∴NF=FB，連接EF
在△ABN中，EF為中位線，即EF∥AN，…（4分）
又AN平包含于平面MEC，EF?平面MEC，…（5分）
∴AN∥平面MEC．…（6分）
（ II） 連接BD，∵M(jìn)A⊥平面ABCD且AC?平面ABCD，
∴MA⊥AC，…（7分）
又MA∥ND，∴ND⊥AC，…（9分）
又四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
又ND和BD是平面BDN上的兩相交直線，…（11分）
∴AC⊥平面BDN．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．