Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx的定義域為[a，b]，值域為[-1，

2

]，則b-a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的求值

分析：依題意，可求得a+

π

4

≤x+

π

4

≤b+

π

4

，利用正弦函數(shù)的性質即可求得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴又a≤x≤b，∴a+

π

4

≤x+

π

4

≤b+

π

4

，
又-1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
在正弦函數(shù)y=sinx的一個周期內(nèi)，要滿足上式，則-

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴（b-a）_max=

5π

4

-（-

π

4

）=

3π

2

，（b-a）_min=

5π

4

-

π

2

=

3π

4

．
故b-a的取值范圍是[

3π

4

，

3π

2

]．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，由-

2

2

sin（x+

π

4

）≤1，探究x+

π

4

的范圍是關鍵，也是難點，考查分析與思維能力，屬于難題．