Question

已知函數(shù)f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，x≥2

，若對于正數(shù)k_n（n∈N^*），直線y=k_n•x與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有2n+1個不同交點(diǎn)，則

lim

n→∞

（k₁²+k₂²+…+k_n²）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,分段函數(shù)的應(yīng)用,極限及其運(yùn)算

專題：綜合題

分析：由函數(shù)f（x）是分段函數(shù)求出各段內(nèi)的表達(dá)式，畫出草圖，得到直線和y=f（x）交點(diǎn)的規(guī)律，列方程組求出

k

2 n

的值，問題得解．

解答： 解：∵當(dāng)0≤x＜2時，f（x）=

1-(x-1)2

，
當(dāng)2≤x＜4時，0≤x-2＜2，
∴f（x-2）=

1-[(x-2)-1]2

=

1-(x-3)2

，
當(dāng)4≤x＜6時，0≤x-4＜6，
∴f（x-4）=

1-[(x-4)-1]2

=

1-(x-5)2

，
 以此類推…，
∴函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

當(dāng)n=1時，y=k₁x與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個不同交點(diǎn)，
此時，y=k₁x與第一個半圓相交與第二個半圓相切，
當(dāng)n=2時，y=k₂x與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有5個不同交點(diǎn)，
此時，y=k₂x與前兩個半圓相交與第三個半圓相切，…，
當(dāng)n=n時，直線y=k_n•x與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有2n+1個不同交點(diǎn)，
此時，y=k_nx與前n個半圓相交與第n+1個半圓相切，
于是有；

y=knx y= 1-(x-2n-1)2

⇒（

k

2 n

x2+1）-2（2n+1）x+（2n+1）²-1=0
⇒△=[2(2n+1)]2-4

(k

2 n

+1)[(2n+1)2-1]=0，
解得：

k

2 n

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

k

2 1

+

k

2 2

+

k

2 3

+…+

k

2 n

=

1

4

（1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

（1-

1

n+1

），
 
則

lim

n→∞

（k₁²+k₂²+…+k_n²）=

lim

n→∞

1

4

（1-

1

n+1

）=

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考察了分段函數(shù)，函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)列裂項(xiàng)求和以及求極限值，是一道綜合題．