Question

設(shè)m為不小于2的正整數(shù)，對(duì)任意n∈Z，若n=qm+r（其中q，r∈Z，且0≤r≤m），則記f_m（n）=r，如f₂（3）=1，f₃（8）=2．下列關(guān)于該映射f_m：Z→Z的命題中，正確的是

 

．
①若a，b∈Z，則f_m（a+b）=f_m（a）+f_m（b）
②若a，b，k∈Z，且f_m（a）=_m（b），則f_m（ka）=f_m（kb）
③若a，b，c，d∈Z，且f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d），則f_m（a+c）=f_m（b+d）
④若a，b，c，d∈Z，且f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d），則f_m（ac）=f_m（bd）

Answer 1

考點(diǎn)：映射

專題：新定義

分析：根據(jù)題意，f_m（n）=r表示的意義是n被m整除所得的余數(shù)r；由此判定命題①②③④是否正確即可．

解答： 解：根據(jù)題意，f_m（n）=r表示的意義是n被m整除所得的余數(shù)r；
∴對(duì)于①，當(dāng)m=3，a=4，b=5時(shí)，f₃（4+5）=0，f₃（4）=1，f₃（5）=2，f₃（4+5）≠f₃（4）+f₃（5）；∴①錯(cuò)誤．
對(duì)于②，當(dāng)f_m（a）=_m（b）時(shí)，即a=q₁m+r，b=q₂m+r，∴ka=kq₁m+kr，kb=kq₂m+kr，
即f_m（ka）=f_m（kb）；∴②正確．
對(duì)于③，當(dāng)f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d）時(shí)，即a=q₁m+r₁，b=q₂m+r₁，c=p₁m+r₂，d=p₂m+r₂，
∴a+c=（q₁+p₁）m+（r₁+r₂），b+d=（q₂+p₂）m+（r₁+r₂），
即f_m（a+c）=f_m（b+d）；∴③正確．
對(duì)于④，當(dāng)f_m（a）=f_m（b），f_m（c）=f_m（d）時(shí)，即a=q₁m+r₁，b=q₂m+r₁，c=p₁m+r₂，d=p₂m+r₂，
∴ac=q₁p₁m²+（r₂q₁+r₁p₁）m+r₁r₂，bd=q₂p₂m²+（r₂q₂+r₁p₂）m+r₁r₂，
即f_m（ac）=f_m（bd）；∴④正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的問題，解題時(shí)應(yīng)深刻理解題目中的新定義的內(nèi)涵與外延，從而解答所提出的問題，是中檔題．