Question

已知f（x）=x|x-a|+2x-3，其中a∈R
（1）當(dāng)a=4，2≤x≤5時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并寫出相應(yīng)的x的值．
（2）若f（x）在R上恒為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化為分段函數(shù)，利用函數(shù)的增減性求得最值；
（2）通過討論a的取值，化為分段函數(shù)后由函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求得．

解答： 解；（1）∵f（x）=x|x-a|+2x-3，
∴當(dāng)a=4時，f(x)=x|x-4|+2x-3=

-x2+6x-3，2≤x≤4 x2-2x-3，4＜x≤5

；
作圖如下：

由圖知，當(dāng)x=5時，f（x）_max=f（5）=5²-2×5-3=12；
當(dāng)x=2或4時，f（x）_min=f（2）=f（4）=-2²+6×2-3=5，
（2）f(x)=

-x2+(a+2)x-3，x≤a x2+(2-a)x-3，x＞a

，
∵f（x）在R上恒為增函數(shù)，
∴

a+2 2 ≥a a-2 2 ≤a

，解得-2≤a≤2．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-2，2]．

點評：本題考查學(xué)生對含絕對值的函數(shù)的處理方法，以及分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷與運用能力，結(jié)合圖象理解更好．