Question

已知橢圓x²+2y²=a²（a＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線y=k（x-1）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M（

11

4

，0），求證

MA

•

MB

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出b2=

a2

2

，

1

2

×b×2c=4，由此能求出橢圓方程．
（2）由

y=k(x-1) x2+2y2=8

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明

MA

•

MB

為定值．

解答： （本題滿分（14分）；第（1）小題（6分），第（2）小題8分）
解：（1）設(shè)橢圓的短半軸為b，半焦距為c，
則b2=

a2

2

，由c²=a²-b²，得c2=a2-

a2

2

=

a2

2

，
由

1

2

×b×2c=4，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．（6分）
（2）由

y=k(x-1) x2+2y2=8

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得：x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-8

2k2+1

，
∴

MA

•

MB

=(x1-

11

4

，y1)•(x2-

11

4

，y2)，
=x1x2-

11

4

(x1+x2)+

121

16

+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(

11

4

+k2)(x1+x2)+k2+

121

16

=(k2+1)

2k2-8

2k2+1

-(

11

4

+k2)

4k2

2k2+1

+k2+

121

16

=

-16k2-8

2k2+1

+

121

16

=-

7

16

，
∴

MA

•

MB

為定值-

7

16

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．