Question

11．已知函數(shù)f（x）=（mx+1）（1nx-3）．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得切線的方程；
（2）由題意可得f′（x）=m（lnx-3）+（mx+1）•$\frac{1}{x}$≥0在（0，+∞）恒成立．即有mx（lnx-2）+1≥0，對m討論，m=0，m＜0，m＞0，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（lnx-2），求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最值，進而解得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x+1）（1nx-3）的導數(shù)為
f′（x）=lnx-3+（x+1）•$\frac{1}{x}$=lnx-2+$\frac{1}{x}$，
y=f（x）在x=1處的切線斜率為-1，切點為（1，-6），
則y=f（x）在x=1處的切線的方程為y+6=-（x-1），
即為x+y+5=0；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
即為f′（x）=m（lnx-3）+（mx+1）•$\frac{1}{x}$≥0在（0，+∞）恒成立．
即有mx（lnx-2）+1≥0，
當m=0時，顯然成立；
當m＞0時，x（lnx-2）≥-$\frac{1}{m}$，由g（x）=x（lnx-2）的導數(shù)g′（x）=lnx-1，
當x＞e時，g（x）遞增；當0＜x＜e時，g（x）遞減．
則x=e處取得極小值，且為最小值-e，
則-e≥-$\frac{1}{m}$，解得0＜m≤$\frac{1}{e}$；
當m＜0時，x（lnx-2）≤-$\frac{1}{m}$，
由g（x）=x（lnx-2）有最小值，無最大值，故不成立．
綜上可得，m的取值范圍是[0，$\frac{1}{e}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，屬于中檔題．