Question

定義在R上的函數(shù)g（x）及二次函數(shù)h（x）滿足：g(x)+2g(-x)=ex+

2

ex

-9，h(-2)=h(0)=1且h（-3）=-2．
（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）對于x₁，x₂∈[-1，1]，均有h（x₁）+ax₁+5≥g（x₂）-x₂g（x₂）成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)f(x)=

g(x)，(x＞0) h(x)，(x≤0)

，討論方程f[f（x）]=2的解的個(gè)數(shù)情況．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：數(shù)形結(jié)合法,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求抽象函數(shù)g（x）的解析式，運(yùn)用了方程的思想；而h（x）是具體函數(shù)，可以直接設(shè)出來，用待定系數(shù)法求之．
（2）ϕ（x）≥F（x）恒成立，即：ϕ（x）_min≥F（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)分別求出ϕ（x）和F（x）的最小值和最大值．
（3）利用數(shù)形結(jié)合，對參數(shù)進(jìn)行討論求出方程的根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）∵g(x)+2g(-x)=ex+

2

ex

-9，①，在①中以-x代替x得：g(-x)+2g(x)=e-x+

2

e-x

-9，即g(-x)+2g(x)=2ex+

1

ex

-9，②
由①②聯(lián)立解得：g（x）=e^x-3．
∵h(yuǎn)（x）是二次函數(shù)，且h（-2）=h（0）=1，可設(shè)h（x）=ax（x+2）+1，
由h（-3）=-2，解得a=-1．
∴h（x）=-x（x+2）+1=-x²-2x+1，
∴g（x）=e^x-3，h（x）=-x²-2x+1．
（Ⅱ）設(shè)ϕ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F(xiàn)（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
依題意知：當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，ϕ（x）_min≥F（x）_max，
∵F′（x）=-e^x+（1-x）（e^x-3）+3=-xe^x+3，在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴F′（x）_min=F′（1）=3-e＞0，
∴F（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴F（x）_max=F（1）=0，
∴

ϕ(-1)=7-a≥0 ϕ(1)=a+3≥0

，解得：-3≤a≤7，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3，7]．
（Ⅲ）當(dāng)f（x）＞0時(shí)，有e^f（x）-3=2，則f（x）=ln5，
當(dāng)f（x）≤0時(shí)，有=-f（x）²-2f（x）+1=2，則f（x）=-1，
即若f[f（x）]=2，則有f（x）=-1或f（x）=ln5，
而f（x）的圖象如圖所示：
y=f（x）與y=-1有2個(gè)交點(diǎn)，與y=ln5有1個(gè)交點(diǎn)，
則f[f（x）]=2共有3個(gè)解．

點(diǎn)評：本題考查了：求函數(shù)解析式的方法，運(yùn)用方程思想求抽象函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求具體函數(shù)解析式；利用最值解決恒成立問題；利用數(shù)結(jié)合法解決方程根的個(gè)數(shù)問題．這些問題都是我們經(jīng)常遇到的，所以在平時(shí)應(yīng)多多注意．這是一道綜合性很強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)試題．難度較大．