Question

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)P為y=f′（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn)．
（1）求曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域的面積
（2）若|AC|=

π

3

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

3 3

2

），且ω＞0，0＜ω＜

π

2

，求y=f（x）在區(qū)間[0，

π

3

]的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用定積分的意義可得：曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域的面積S=|

∫

c a

f′(x)dx|．
（2）由圖象可知：|AC|=

T

2

=

2π ω

2

=

π

3

，解得ω=3．由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

3 3

2

），代入可得φ=

π

6

．即可得出f（x）=sin(3x+

π

6

)．再利用當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，

π

6

≤3x+

π

6

≤

7π

6

，即可得出．

解答： 解：（1）曲線段

ABC

與x軸所圍成的區(qū)域的面積S=|

∫

c a

f′(x)dx|=|f(x)

|

c a

|=|sin（ωc+φ）-sin（ωa+φ）|=2．
（2）由圖象可知：|AC|=

T

2

=

2π ω

2

=

π

ω

=

π

3

，解得ω=3．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

3 3

2

），
∴3cosφ=

3 3

2

，0＜φ＜

π

2

，解得φ=

π

6

．
∴f（x）=sin(3x+

π

6

)．
當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，

π

6

≤3x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(3x+

π

6

)≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、定積分的幾何意義，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．