Question

如圖，多面體ABCPQ中，PA⊥平面ABC，PA=AB，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△QBC是等邊三角形，M是BC的中點(diǎn)，二面角Q-BC-A的正切值為-

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（Ⅰ）證明：PQ∥平面ABC；
（Ⅱ）在線段QM上是否存在一點(diǎn)N，使得PN⊥平面QBC，如果存在，請(qǐng)求出N點(diǎn)的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)Q做平面ABC的垂線，垂足是H，連結(jié)HB，HC，先證明出∠QMH是平面QBC與平面ABC所成的銳二面角，通過(guò)已知條件求得PA∥QH且PA=QH，判斷出四邊形AHQP為矩形，證明出PQ∥AH，最后利用線面平行的判定定理即可．
（Ⅱ）連結(jié)PH交QM與N，先證明出BC⊥PN，進(jìn)而根據(jù)三角形相似求得PN⊥QM，利用線面垂直的判定定理證明出PN⊥平面QBC，利用三角形相似的比例關(guān)系求得MN=

1

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MQ．

解答： （Ⅰ）證明：過(guò)點(diǎn)Q做平面ABC的垂線，
垂足是H，連結(jié)HB，HC，
∵QB=QC，
∴HB=HC，
∴HM⊥BC，
又QM⊥BC，
∴∠QMH是平面QBC與平面ABC所成的銳二面角，
且A，M，H共線，tan∠QMH=

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，cos∠QMH=

1

3

，sin∠QMH=

2

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，
設(shè)AC=PA=a，則BC=

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a，QM=

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2

•

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a，HQ=

3

2

•

2

a•

2

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=a=PA，
又PA∥QH，
∴四邊形AHQP為矩形，
∴PQ∥AH，
∵AH?平面ABHC，
∴PQ∥平面ABC．
（Ⅱ）線段QM上存在一點(diǎn)N，使得PN⊥平面QBC，且MN=

1

3

MQ，理由如下：
連結(jié)PH交QM與N，
BC⊥HM，BC⊥MQ，
∴BC⊥平面QHAP，
∵PN?平面QHAP，
∴BC⊥PN，
矩形PAHQ中，∵M(jìn)是中點(diǎn)，
∴PA=a，AH=

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a，
∴△NMH∽△HPA，
∴∠PHA+∠HMN=90°，
∴PN⊥QM，
又△HNM∽△QHM，
∴MN=

1

3

MQ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．