Question

如圖所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，則AC₁=

 

．

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：觀察圖形及題設(shè)條件，可構(gòu)造出與AC₁有關(guān)的三角形然后利用三角形求此線段的長度，由題設(shè)條件可以證出AA₁在底面上的射影是角BAD的角平分線，由幾何體的幾何特征知，CC₁在底面上的射影在BC，DC的所組成的角的角平分線上，且此垂足到C的距離與點A₁在底面的垂足O到A的距離相，故可依據(jù)題設(shè)條件求出點O到AB，AD的距離，即求得圖中HR，CR的長度，補出如圖的圖形，在直角三角形中即可求出AC₁的長．

解答： 解：由題意，如圖，作A₁O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，連接A₁F，A₁E，
由于，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，故有△A₁FA≌△A₁EA，即A₁F=A₁E
從而有△A₁FO≌△A₁EO，即有OF=OE，由作圖知，O在角DAB的角平分線上，
又底面是矩形，故角DAO=角BAO=45°，
又AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴A₁F=A₁E=5

3

，AE=AF=

5

2

，于是有AO=

5 2

2

，
在直角三角形A₁OA中，解得A₁O=

5 2

2

，
在圖中作C₁H垂直底面于H，作HR垂直DC延長線與R，由幾何體的性質(zhì)知，HR=CR=

5

2

，A₁O=C₁H=

5 2

2

，
連接AH，得如圖的直角三角形ASH，直角三角形AHC₁，由已知及上求解得AS=

13

2

，SH=

11

2

∴AC₁²=AH²+C₁H²=AS²+SH²+C₁H²=

169

4

+

121

4

+

50

4

=85，
∴AC₁=

85

，
故答案為：

85

點評：本題主要考查了體對角線的求解，同時考查了空間想象能力，計算推理的能力，本題解題的關(guān)鍵是有著較強的空間感知能力以及根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造圖形的能力，本題是一個創(chuàng)造型題，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線對求解本題很重要，本題是立體幾何中綜合性較強的題，解題中用到了間接法的技巧，通過求點A₁到底面的距離求出點C₁到底面的距離．