Question

頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的正半軸的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=2x+1與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的定義，求出p，即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=2x+1與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義，即可求AB的長(zhǎng)度．

解答： 解：（1）由題意，焦點(diǎn)在y軸的正半軸的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，可知p=2．…（1分）
∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=4y…（4分）
（2）直線l：y=2x+l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F（0，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴|AB|=y₁+y₂+p=y₁+y₂+2…（8分）
聯(lián)立

y=2x+1 x2=4y

得x²-8x-4=0…（9分）
∴x₁+x₂=8…（10分）
∴|AB|=y₁+y₂+2=2x₁+1+2x₂+1+2=2（x₁+x₂）+4=20…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．