Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，a∈R．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，當(dāng)a=0時．討論g（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過題目給的條件很容易求出g（x），要討論g（x）的單調(diào)性，很容易想到求導(dǎo)數(shù)的辦法，g′（x）=（x+1）e^x-1，要討論g（x）的單調(diào)性，就要判斷g′（x）的符號，通過觀察g′（x）會發(fā)現(xiàn)x＜0時，g'（x）＜0；x＞0時，g'（x）＞0，這樣g（x）的單調(diào)區(qū)間就會得到．
（Ⅱ）通過極小值的定義：x＜0時f'（x）＜0；x＞0時，f'（x）＞0，會得到（x+2-a）e^x-2＞0，然而怎樣讓這個不等式恒成立，可能就能求出a的單調(diào)區(qū)間了．

解答： 解：（Ⅰ）由題知，a=0時，g（x）=xe^x-x 所以g'（x）=（x+1）e^x-1，
顯然當(dāng)x＜0時，g'（x）＜0，當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）f'（x）=（x²+（2-a）x）e^x-2x=x[（x+2-a）e^x-2]；
由于函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，所以x＜0時f'（x）＜0，所以（x+2-a）e^x-2＞0；
同樣，x＞0時，f'（x）＞0，（x+2-a）e^x-2＞0；
若設(shè)h（x）=（x+2-a）e^x-2，則h′（x）=e^x（x+3-a），所以在（-∞，a-3）上h′（x）＜0，所以h（x）在（-∞，a-3）上單調(diào)遞減；
同樣h（x）在（a-3，+∞）上單調(diào)遞增．則h（0）≥0就會使（x+2-a）e^x-2＞0恒成立；
所以2-a-2≥0，所以a≤0，所以a的取值范圍是：（-∞，0]．

點評：對于第一問很容易想到求導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，在求出倒數(shù)g′（x）=（x+1）e^x-1之后，要觀察出分x＜0和x＞0來判斷g′（x）的符號．對于第二問，顯然需要用上極小值的定義，會得到h（x）=（x+2-a）e^x-2，在這里要注意判斷h（x）的單調(diào)性，并求單調(diào)區(qū)間，這樣h（0）≥0就能得到了．