Question

已知命題p：關于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集，命題q：方程（a-1）x²+（3-a）y²=（a-1）（3-a）表示焦點在y軸上的橢圓，若命題￢q為真命題，p∨q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：若命題p為真命題：關于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集，可得△＜0，解得-1＜a＜2．若命題q為真命題：方程（a-1）x²+（3-a）y²=（a-1）（3-a）表示焦點在y軸上的橢圓，方程化為

y2

a-1

+

x2

3-a

=1，則a-1＞3-a＞0．由于命題￢q為真命題，p∨q為真命題，可得q為假命題，p為真命題．解得即可．

解答： 解：若命題p為真命題：關于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集為空集，∴△＜0，即（a-1）²-4＜0，解得-1＜a＜3．
若命題q為真命題：方程（a-1）x²+（3-a）y²=（a-1）（3-a）表示焦點在y軸上的橢圓，方程化為

y2

a-1

+

x2

3-a

=1，∴a-1＞3-a＞0，解得2＜a＜3．
∵命題￢q為真命題，p∨q為真命題，∴q為假命題，p為真命題．
∴

-1＜a＜3 a≤2或a≥3

，解得-1＜a≤2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-1，2]．

點評：本題考查了一元二次方程的實數(shù)解問題、橢圓的性質(zhì)、簡易邏輯的有關知識，屬于中檔題．