已知函數(shù)f(x)=lnx-
ax
x+1
,當(dāng)a≥0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論f′(x)的符號得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解答: 解:∵f(x)=
1
x
-
a(x+1)-ax
(x+1)2
=
x2-(a-2)x+1
x(x+1)2

x>0,考慮分子x2-(a-2)x+1
當(dāng)△=a2-4a≤0,即0≤a≤4時,在(0,+∞)上,f′(x)≥0恒成立,此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)△=a2-4a>0,即a>4時,方程x2-(a-2)x+1=0有兩個解不相等的實數(shù)根:
x1=
(a-2)-
(a-2)2-4
2
,x2=
(a-2)+
(a-2)2-4
2

顯然0<x1<x2,
∵當(dāng)x∈(0,x1)或x∈(x2,+∞)時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(x1,x2)時,f′(x)<0;
∴函數(shù)f(x)在(
a-2-
a2-4a
2
,
a-2+
a2-4a
2
)上單調(diào)遞減,
在(0,
a-2-
a2-4a
2
)和(
a-2+
a2-4a
2
,+∞)上單調(diào)遞增.
點評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2-2bx+a=0(a,b∈R)
(Ⅰ)若a是集合{1,2,3}中任取一個元素,b是從集合{1,2,3}中任取一個元素,求上述方程有兩個不相等實數(shù)根的概率.
(Ⅱ)若a是從區(qū)間(0,3)任取的一個實數(shù),b是從區(qū)間(0,2)任取的一個實數(shù),求上述方程沒有實數(shù)根的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列,且a2=1,a6=-5.
(1)求{an}的通項an和前n項和Sn
(2)設(shè)cn=
5-an
2
,bn=2 cn,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(3)設(shè)cn=5-an,bn=
1
cn2-1
(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.求:
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤0恒成立,試確定實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應(yīng)的一個特征向量
e1
=
1
1
,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(-1,2)變換成(-2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個特征值,及對應(yīng)的一個特征向量
e2
的坐標(biāo)之間的關(guān)系;
(3)求直線l:2x-4y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C通過不同三點M(m,0),N(2,0),R(0,1),且直線CM斜率為-1,
(Ⅰ)試求圓C的方程;
(Ⅱ)若Q是x軸上的動點,QA,QB分別切圓C于A,B兩點,
(1)求證:直線AB恒過一定點;
(2)求
QA
QB
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,0<φ<
π
2
)的圖象上一個點為M(
8
,-2),相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2

(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[0,π]時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log2(-4x+5•2x+1-16).
(1)求f(x)的定義域;
(2)求f(x)在區(qū)間[2,log27]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

命題p:非空集合A={x|2a+1<x<3a-5},命題q:B={x|(x-3)(x-22)≤0},若¬p是¬q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍
 

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