Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

ax

x+1

，當(dāng)a≥0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論f′（x）的符號得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵f′(x)=

1

x

-

a(x+1)-ax

(x+1)2

=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

x＞0，考慮分子x²-（a-2）x+1
當(dāng)△=a²-4a≤0，即0≤a≤4時，在（0，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)△=a²-4a＞0，即a＞4時，方程x²-（a-2）x+1=0有兩個解不相等的實(shí)數(shù)根：
x₁=

(a-2)- (a-2)2-4

2

，x₂=

(a-2)+ (a-2)2-4

2

，
顯然0＜x₁＜x₂，
∵當(dāng)x∈（0，x₁）或x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）在（

a-2- a2-4a

2

，

a-2+ a2-4a

2

）上單調(diào)遞減，
在（0，

a-2- a2-4a

2

）和（

a-2+ a2-4a

2

，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．