Question

已知圓C通過不同三點M（m，0），N（2，0），R（0，1），且直線CM斜率為-1，
（Ⅰ）試求圓C的方程；
（Ⅱ）若Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓C于A，B兩點，
（1）求證：直線AB恒過一定點；
（2）求

QA

•

QB

的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用,直線與圓

分析：（Ⅰ）設圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），由題意可得

1+E+F=0 4+2D+F=0 - D 2 = m+2 2 - E 2 -D 2 -m =-1

，解得即可；
（II）（1）設Q（x₀，0），則過Q，A，B三點的圓是以QC為直徑的圓．設為圓C₁：(x-x0)(x+

1

2

)+y(y+

5

2

)=0，與圓C：x²+y²+x+5y-6=0  聯(lián)立即可得出；
（2）設∠AQB=2θ，則|

QA

|=|

QB

|=

5 2 2 cosθ

sinθ

，利用數(shù)量積運算可得

QA

•

QB

=

25

2

•(2sin2θ+

1

sin2θ

-3)，通過換元再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），
由題意可得

1+E+F=0 4+2D+F=0 - D 2 = m+2 2 - E 2 -D 2 -m =-1

，解得D=1，E=5，F(xiàn)=-6，m=-3．
∴圓C：x²+y²+x+5y-6=0即(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

25

2

．
（Ⅱ）（1）設Q（x₀，0），則過Q，A，B三點的圓是以QC為直徑的圓．
設為圓C₁：(x-x0)(x+

1

2

)+y(y+

5

2

)=0   ①
又∵圓C：x²+y²+x+5y-6=0       ②
②-①得：(x+

1

2

)x0+

1

2

x+

5

2

y-6=0，
令

x+ 1 2 =0 1 2 x+ 5 2 y-6=0

解得

x=- 1 2 y= 5 2

．
∴恒過定點(-

1

2

，

5

2

)．
（2）設∠AQB=2θ，則|

QA

|=|

QB

|=

5 2 2 cosθ

sinθ

，
∴

QA

•

QB

=

25cos2θ

2sin2θ

•cos2θ=

25

2

•

cos2θ•(1-2sin2θ)

sin2θ

=

25

2

•

(1-sin2θ)(1-2sin2θ)

sin2θ

=

25

2

•(2sin2θ+

1

sin2θ

-3)，
令t=sin²θ，θ∈(0，

π

2

)，
則

QA

•

QB

=

25

2

(2t+

1

t

-3)≥

25

2

•(2

2t• 1 t

-3)=

25

2

(2

2

-3)=25

2

-

75

2

，當t=

2

2

時取等號．
∴

QA

•

QB

的最小值為25

2

-

75

2

．

點評：本題綜合考查了圓的方程、圓的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、向量的數(shù)量積運算、基本不等式等君臣佐使與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．