Question

設等差數列{a_n}的前n項的和為S_n，若a₁＞0，S₄=S₈，則當S_n取最大值時，n的值為

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：設等差數列的公差為d，根據等差數列的前n項和的公式化簡S₄=S₈，得到首項與公差的關系式，根據首項大于0得到公差d小于0，所以前n項和S_n是關于n的二次函數，由d小于0得到此二次函數為開口向下的拋物線，有最大值，則根據二次函數的對稱性可知當n等于6時，S_n取得最大值．

解答： 解：由S₄=S₈得：
4a₁+

4×3

2

d=8a₁+

8×7

2

d，
解得：a₁=-

11

2

d，又a₁＞0，得到d＜0，
所以S_n=na₁+

n×(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，
由d＜0，得到S_n是一個關于n的開口向下拋物線，且S₄=S₈，
由二次函數的對稱性可知，當n=

4+8

2

=6時，S_n取得最大值．
故答案為：6

點評：此題考查了等差數列的性質，考查了二次函數的圖象與性質，是一道綜合題．