Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，若a₁＞0，S₄=S₈，則當(dāng)S_n取最大值時(shí)，n的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡S₄=S₈，得到首項(xiàng)與公差的關(guān)系式，根據(jù)首項(xiàng)大于0得到公差d小于0，所以前n項(xiàng)和S_n是關(guān)于n的二次函數(shù)，由d小于0得到此二次函數(shù)為開口向下的拋物線，有最大值，則根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知當(dāng)n等于6時(shí)，S_n取得最大值．

解答： 解：由S₄=S₈得：
4a₁+

4×3

2

d=8a₁+

8×7

2

d，
解得：a₁=-

11

2

d，又a₁＞0，得到d＜0，
所以S_n=na₁+

n×(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，
由d＜0，得到S_n是一個(gè)關(guān)于n的開口向下拋物線，且S₄=S₈，
由二次函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)n=

4+8

2

=6時(shí)，S_n取得最大值．
故答案為：6

點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道綜合題．