Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若f（4）=6，解不等式f（3x²-x-2）＜3．

Answer 1

分析 （1）可令x=y=0，從而得出f（0）=0，然后令y=-x，從而可以得到f（-x）=-f（x），這便證出f（x）為奇函數(shù)；
（2）可看出f（x）在R上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根據(jù)條件可得到f（x₂-x₁）＞0，進(jìn)一步便可得出f（x₂）-f（x₁）＞0，從而得出f（x₁）＜f（x₂），這樣即可得到f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）由f（4）=6便可得到f（2）=3，根據(jù)（2）得出的f（x）在R上為增函數(shù)，從而由原不等式得3x²-x-2＜2，解該不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）證明：令x=y=0，則f（0）=0；
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0；
∴f（-x）=-f（x）；
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）是R上的增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
x₂-x₁＞0；
∵x＞0時，f（x）＞0；
∴f（x₂-x₁）＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0；
∴f（x₂）＞f（x₁）；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）∵f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）=6；
∴f（2）=3；
∴由不等式f（3x²-x-2）＜3得，f（3x²-x-2）＜f（2）；
又由（2）知：f（x）是R上的增函數(shù)；
∴3x²-x-2＜2；
解得$-1＜x＜\frac{4}{3}$；
∴不等式的解集是$（-1，\frac{4}{3}）$．

點評 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），解一元二次不等式．