Question

若可變形的三角形模型在變換過(guò)程中三角形周長(zhǎng)和面積可同時(shí)取得最小值（或最大值），則稱此模型為“周積三角形”．某模型廠家用一根定長(zhǎng)連接桿AD，兩根單向伸縮連接桿AB、AC（A端固定，B、C端可伸縮）以及一根雙向伸縮連接桿BC制作了如圖所示的可變?nèi)�角形模型（所有連接桿均為筆直的金屬桿）．模型中，雙向伸縮桿BC用一個(gè)活動(dòng)連接裝置固定在D點(diǎn)，使BC可在D處自由轉(zhuǎn)動(dòng)．已知：模型中，∠BAD=∠CAD=60°，AD=1分米，AB和AC最多可伸長(zhǎng)到5分米，BC的雙向伸縮能力均很強(qiáng)．設(shè)AB=x分米，AC=y分米．
（1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）判斷此模型是否為“周積三角形”模型，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用三角形面積的關(guān)系，可將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）根據(jù)“周積三角形”模型的定義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得

1

2

xsin60°+

1

2

ysin60°=

1

2

xysin120° …（2分）
所以x+y=xy，所以y=

x

x-1

                                        …（4分）
又0＜y≤5，0＜x≤5，所以

5

4

≤x≤5                                …（6分）
故y=

x

x-1

（

5

4

≤x≤5）；
（2）設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為l，面積為S，則結(jié)合（1）易得S=

1

2

xysinA=

1

2

x•

x

x-1

sin120°=

3 x2

4(x-1)

（

5

4

≤x≤5）；
則xy=

4S

3

．

x2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+2≥4，僅當(dāng)x-1=

1

x-1

，即x=2時(shí)取等號(hào)．
故當(dāng)x=y=2時(shí)，面積S取最小值

3

，則S≥

3

．…（10分）
l=x+y+

x2+y2-2xycosA

=

(xy)2-xy

+xy=

16 3 S2- 4 3 S

+

4

3

S=

16 3 (S- 3 8 )2- 1 4

+

4

3

S
結(jié)合冪函數(shù)、二次函數(shù)及一次函數(shù)的單調(diào)知，當(dāng)S≥

3

＞

3

8

時(shí)，周長(zhǎng)l隨S的增大而增大，故當(dāng)S=

3

，即面積S取最小值時(shí)，周長(zhǎng)l也取最小值，故△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)取最小值．
故此模型是“周積三角形”．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定函數(shù)的模型是關(guān)鍵．