Question

若可變形的三角形模型在變換過程中三角形周長和面積可同時取得最小值（或最大值），則稱此模型為“周積三角形”．某模型廠家用一根定長連接桿AD，兩根單向伸縮連接桿AB、AC（A端固定，B、C端可伸縮）以及一根雙向伸縮連接桿BC制作了如圖所示的可變?nèi)�角形模型（所有連接桿均為筆直的金屬桿）．模型中，雙向伸縮桿BC用一個活動連接裝置固定在D點，使BC可在D處自由轉(zhuǎn)動．已知：模型中，∠BAD=∠CAD=60°，AD=1分米，AB和AC最多可伸長到5分米，BC的雙向伸縮能力均很強．設(shè)AB=x分米，AC=y分米．
（1）將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）判斷此模型是否為“周積三角形”模型，并說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用三角形面積的關(guān)系，可將y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）根據(jù)“周積三角形”模型的定義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得

1

2

xsin60°+

1

2

ysin60°=

1

2

xysin120° …（2分）
所以x+y=xy，所以y=

x

x-1

                                        …（4分）
又0＜y≤5，0＜x≤5，所以

5

4

≤x≤5                                …（6分）
故y=

x

x-1

（

5

4

≤x≤5）；
（2）設(shè)△ABC的周長為l，面積為S，則結(jié)合（1）易得S=

1

2

xysinA=

1

2

x•

x

x-1

sin120°=

3 x2

4(x-1)

（

5

4

≤x≤5）；
則xy=

4S

3

．

x2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+2≥4，僅當x-1=

1

x-1

，即x=2時取等號．
故當x=y=2時，面積S取最小值

3

，則S≥

3

．…（10分）
l=x+y+

x2+y2-2xycosA

=

(xy)2-xy

+xy=

16 3 S2- 4 3 S

+

4

3

S=

16 3 (S- 3 8 )2- 1 4

+

4

3

S
結(jié)合冪函數(shù)、二次函數(shù)及一次函數(shù)的單調(diào)知，當S≥

3

＞

3

8

時，周長l隨S的增大而增大，故當S=

3

，即面積S取最小值時，周長l也取最小值，故△ABC的周長和面積同時取最小值．
故此模型是“周積三角形”．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)的模型是關(guān)鍵．