Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+m，（m∈R⁺）
（1）若f（x）是偶函數(shù)，求m的值．
（2）設(shè)g（x）=

f(x)

x

，x∈[

1

4

，4]，求g（x）的最小值φ（m）．
（3）若φ（m）-

k

4

＞log 

1

3

4	27

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的對稱軸為x=0，求得m的值．
（2）求得g（x）x+（m-1）+

m

x

，分當(dāng)m=0時(shí)、當(dāng)m＜0時(shí)、當(dāng)m＞0時(shí)三種情況，分別求得g（x）的最小值φ（m）的解析式，綜合可得，g（x）的最小值φ（m）的解析式．
（3）由題意可得 φ（m）＞

k-3

4

恒成立，再根據(jù)φ（m）的最小值為

1

16

，可得

1

16

＞

k-3

4

，由此解得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+m為偶函數(shù)，則有

1-m

2

=0，解得m=1．
（2）∵g（x）=

f(x)

x

=x+（m-1）+

m

x

，
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=x²，g（x）的最小值φ（m）=g（

1

4

）=

1

16

．
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）在[

1

4

，4]上是增函數(shù)，g（x）的最小值φ（m）=g（

1

4

）=

1

16

．
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）在[

m

，+∞）上是增函數(shù)，
若

1

2

≤m＜2，g（x）的最小值φ（m）=2m；
若 m＞2，g（x）在[

1

4

，4]上是減函數(shù)，g（x）的最小值φ（m）=g（4）=

5m

4

+3；
若0＜m＜

1

2

，g（x）在[

1

4

，4]上是增函數(shù)，g（x）的最小值φ（m）=g（

1

4

）=

1

16

．
綜上可得，g（x）的最小值φ（m）=

1 16    ，m＜ 1 2 2m   ， 1 2 ≤m＜2 5m 4    ，m＞2

．
（3）若φ（m）-

k

4

＞log 

1

3

4	27

=log

1

3

3

3

4

=-

3

4

恒成立，
∴φ（m）＞

k-3

4

 恒成立．
再根據(jù)φ（m）的最小值為

1

16

，∴

1

16

＞

k-3

4

，解得 k＜

13

4

．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，

13

4

）．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．