Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，8），N點(diǎn)在拋物線C上，且滿足

ON

=

3

4

OM

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線l₁，l₂，l₁與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A，B，l₂與拋物線C交于不同兩點(diǎn)D，E，弦AB，DE的中點(diǎn)分別為G，H．求當(dāng)直線l₁的傾斜角在[

π

6

，

π

4

]時(shí)，直線GH被拋物線截得的弦長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由

ON

=

3

4

OM

，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，8），得出

ON

=（9，6）代入y²=2px，求出p的值，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)l₁斜率為k，方程為y=k（x-12）+8，則l₂方程為y=-k（x-12）+8與y²=4x聯(lián)立，求出G，H的坐標(biāo)，可得GH的方程，代入拋物線方程，求出弦長(zhǎng)PQ，即可求出直線GH被拋物線截得的弦長(zhǎng)的最大值．

解答： 解：（I）由

ON

=

3

4

OM

，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，8），得出

ON

=（9，6）代入y²=2px，得到2p=4，
所以拋物線C的方程為y²=4x…（4分）
（II）由題意知直線l₁，l₂的斜率存在，且不為零，設(shè)l₁斜率為k，方程為y=k（x-12）+8，
則l₂方程為y=-k（x-12）+8
由y=k（x-12）+8與y²=4x聯(lián)立，得：ky²-4y+32-48k=0…（5分）
△=16-4k（32-48k）＞0，∴k＞

1

2

或k＜

1

6

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)G（x_G，y_G），則y₁+y₂=

4

k

，即y_G=

2

k

…（7分）
又y_G=k（x_G-12）+8，∴x_G=

2

k2

-

8

k

+12
∴G的坐標(biāo)為（

2

k2

-

8

k

+12，

2

k

）．
用-k代替k，同理得-k＞

1

2

或-k＜

1

6

，H的坐標(biāo)（

2

k2

+

8

k

+12，-

2

k

）．
∴k＞

1

2

或-

1

6

＜k＜0，0＜k＜

1

6

．或k＜-

1

2

，
又∵直線l₁的傾斜角在[

π

6

，

π

4

]，即

3

3

≤k≤1…（9分）
而k_GH=

2 k + 2 k

- 8 k - 8 k

=-

1

4

    
∴GH：y=-

1

4

（x-x_G）+y_G，…（11分）
代入拋物線方程得：y²+16y-4（x_G+4y_G）=0
△=16²+16（x_G+4y_G）=16（16+

2

k2

+12）＞0
設(shè)直線GH與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，
則弦長(zhǎng)|PQ|=4

17

•

28+ 2 k2

…（13分）
∵

1

3

≤k2≤1，∴1≤

1

k2

≤3，
∴|PQ|_max=68

2

∴直線GH被拋物線截得的弦長(zhǎng)的最大值為68

2

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，屬于中檔題．