Question

如圖，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：
①AF⊥PB②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥BC，
正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：分別根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分別進行證明四個結(jié)論的真假，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥⊙O所在平面，
∴PA⊥⊙O所在平面內(nèi)的所有直線，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，
∴BC⊥PC，
∵F是點A在PC上的射影，
∴AF⊥PC，
∵AF∩PC=F，
∴PC⊥面PAC，
∴AF⊥BC，
又AF⊥PC，
∴AF⊥面PBC，
∴AF⊥PB，∴①正確；
∵AF⊥面PBC，
BC?面PBC，
∴AF⊥BC∴③正確．
∵AF⊥PB，AE⊥PB，AF∩AE=A，
∴PB⊥面AEF，
∴EF⊥PB，
∴②正確．
∵AF⊥面PBC，
∴若AE⊥BC，
則AE⊥面PBC，
此時E，F(xiàn)重合，與已知矛盾．∴④錯誤；
故命題①②③正確，
故選：C

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．