Question

（本小題滿分14分）

已知圓心在軸上的圓過點(diǎn)和.

（1）求圓的方程；

（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；

（3）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)為，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)N的軌跡.

Answer 1

（1） （2）或.

（3）點(diǎn)N的軌跡是以（，）為圓心，半徑為1的圓.

【解析】

試題分析：第一問先通過圓心在弦的中垂線上，從而得出圓心的位置，確定出圓的半徑，從而得出圓的方程，第二問涉及到圓的切線方程的求解問題，把握住圓心到直線的距離為半徑可得，對(duì)于第三問，把握住動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法即可得結(jié)果.

試題解析：（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為 （1分）

所以線段AB的垂直平分線方程為，即為. （2分）

令，得，即圓心為. （3分）

由兩點(diǎn)間的距離公式，得. （4分）

∴適合題意的圓的方程為. （5分）

或：設(shè)圓心為，由得 （2分）

解得a=2，所以圓心為. （3分）

又半徑. （4分）

所以適合題意的圓的方程為. （5分）

（2）由（1）知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑

（i）當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的直線的斜率不存在時(shí)，其切線方程為.（6分）

（ii）當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)為，則切線方程為. （7分）

由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得 （8分）

所以切線方程為 即

因此，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或. （9分）

（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由于Q點(diǎn)的坐標(biāo)為且N為PQ的中點(diǎn)，所以，（10分）

于是有 ① （11分）

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062906055993856924/SYS201506290606102358164586_DA/SYS201506290606102358164586_DA.033.png">在圓上運(yùn)動(dòng)，所以有 （12分）

將①代入上式得，即 （13分）

所以，點(diǎn)N的軌跡是以（，）為圓心，半徑為1的圓. （14分）

考點(diǎn)：圓的方程，圓的切線，動(dòng)點(diǎn)的軌跡.