Question

已知橢圓C：

x2

16

+

y2

9

=1，直線l：（2m+1）x+（1-m）y-5m-4=0（m∈R）
（1）證明：不論m取任何實(shí)數(shù)，直線l與橢圓C恒交于兩點(diǎn)；
（2）設(shè)直線l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為A．B，M為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)m∈R且m≠-

1

2

，m≠1時(shí)，記直線l的斜率為k_AB，直線OM的斜率為k_OM，求證：k_ABk_OM為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合

專(zhuān)題：常規(guī)題型,綜合題

分析：（1）直線l：（2m+1）x+（1-m）y-5m-4=0（m∈R）必過(guò)點(diǎn)（3，1），而此點(diǎn)（3，1）在橢圓C內(nèi)，即可得出不論m取任何實(shí)數(shù)，直線l與橢圓C恒交于兩點(diǎn)；
（2）設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)題意表示出k_ABk_OM=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

，再利用點(diǎn)在橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程代入可得答案．

解答： 解：（1）∵直線l：（2m+1）x+（1-m）y-5m-4=0（m∈R）可化為：
m（2x-y-5）+（x+y-4）=0，
由

2x-y-5=0 x+y-4=0

得：

x=3 y=1

故直線必過(guò)點(diǎn)（3，1），而此點(diǎn)（3，1）在橢圓C內(nèi)，
∴不論m取任何實(shí)數(shù)，直線l與橢圓C恒交于兩點(diǎn)；
（2）由題意得：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則中點(diǎn)M（

x1+ x2

2

，

y1+ y2

2

），
所以k_AB=

y2- y1

x2-x1

，k_OM=

y2+ y1

x2+x1

，
所以k_AB•k_OM=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

，
又因?yàn)辄c(diǎn)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）在橢圓上
所以9x₁²+16y₁²=144，9x₂²+16y₂²=144，
所以得9（x₂²-x₁²）+16（y₂²-y₁²）=0，
所以

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

9

16

．
故k_ABk_OM為定值-

9

16

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是利用設(shè)而不求的方法，即設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)而不求點(diǎn)的坐標(biāo)直接根據(jù)題意寫(xiě)出表達(dá)式進(jìn)行整體求解，此種方法在圓錐曲線部分常見(jiàn)．