Question

已知函數(shù)f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在x∈（1，2]上的函數(shù)值恒為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,對數(shù)函數(shù)的定義域,對數(shù)函數(shù)的值域與最值

專題：計(jì)算題,分類討論

分析：欲使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在x∈（1，2]上的函數(shù)值恒為正數(shù)，就a的值分情況討論，轉(zhuǎn)化成 ax2-x+

1

2

＞1（或＜1）在x∈（1，2]上的恒成立，根據(jù)函數(shù)

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的單調(diào)性求出最大（小）值即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：欲使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在x∈（1，2]上的函數(shù)值恒為正數(shù)，
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，轉(zhuǎn)化成 ax2-x+

1

2

＞1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＞

1 2

x 2

+

1

x

由于函數(shù)

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的最大值為

3

2

，
∴a＞

3

2

；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，轉(zhuǎn)化成0＜ax2-x+

1

2

＜1在x∈（1，2]上的恒成立，
即a＜

1 2

x 2

+

1

x

且a＞-

1 2

x 2

+

1

x

由于函數(shù)

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的最小值為

5

8

，
且函數(shù)-

1 2

x 2

+

1

x

在（1，2]上的最大值為

1

2

∴

1

2

＜a＜

5

8

；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a＞

3

2

或

1

2

＜a＜

5

8

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．