Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x．
（1）將f（x）的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位長度，再將周期擴(kuò)大一倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，該函數(shù)的周期為π，若將其周期變?yōu)?π，即得g（x）的解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin2x+2•

1+cos2x

2

=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵f（x-

π

12

）=2sin[2（x-

π

12

）+

π

6

]+1=2sin2x+1，
∴該函數(shù)的周期為π，若將其周期變?yōu)?π，則得g（x）=2sinx+1；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴其最小正周期為T=π，
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，突出考查正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，屬于中檔題．