Question

【題目】（本小題滿分14分）

設(shè)橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同.

（1）求此橢圓的方程；

（2）若過此橢圓的右焦點(diǎn)的直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則

①求直線的方程；

②橢圓上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請說明一共有幾個(gè)點(diǎn)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）①或或.

②12個(gè)

【解析】

試題分析：對于第一問中的橢圓方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，根據(jù)離心率的值，得出的值，從而得出的值，得到相應(yīng)的橢圓方程，對于第二問，根據(jù)題的條件，設(shè)出直線的方程，當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，一種情況，聯(lián)立式子，對應(yīng)的二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根，判別式等于0，一種是直線和拋物線的對稱軸平行即可得結(jié)果；根據(jù)所求的直線方程，可以得出對應(yīng)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，因?yàn)镕點(diǎn)是已知的，所以三角形的底邊FP的長度已經(jīng)確定，要想面積是所給的值，可以得出點(diǎn)M到此直線的距離，建立相應(yīng)的等量關(guān)系，從而得出點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：

解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，

所以. （1分）

由，得， （2分）

所以 （3分）

因此，所求橢圓的方程為（*）（4分）

（2）①橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)與軸平行的直線顯然與曲線沒有交點(diǎn).設(shè)直線的斜率為. （5分）

當(dāng)時(shí)，則直線過點(diǎn)且與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為； （6分）

當(dāng)時(shí)，因直線過點(diǎn)，故可設(shè)其方程為，將其代入消去，得.

因?yàn)?/span>直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以判別式，于是，即直線的方程為或. （7分）

因此，所求的直線的方程為或或. （8分）

②由①可求出點(diǎn)的坐標(biāo)是或或.

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則.于是=，從而，代入（*）式聯(lián)立：或，求得，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)有4個(gè):

. （10分）

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)到直線：的距離是，于是有，

從而，與（*）式聯(lián)立：或解之，可求出滿足條件的點(diǎn)有4個(gè):

，，，. （12分）

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)到直線:的距離是，于是有，

從而，與（*）式聯(lián)立：或，

解之，可求出滿足條件的點(diǎn)有4個(gè):

，,,. （14分）

綜合①②③，以上12個(gè)點(diǎn)各不相同且均在該橢圓上，因此，滿足條件的點(diǎn)共有12個(gè).圖上橢圓上的12個(gè)點(diǎn)即為所求.