Question

已知直線

2a

x+

b

y=1（其中a，b為正實(shí)數(shù)）與圓x²+y²=1相相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，則a²+b²-2（a+b）取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，由|OA|=|OB|根據(jù)題意可知△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出|AB|的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得圓心到直線的距離等于|AB|的一半，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，兩者相等即可得到a與b的關(guān)系，用a表示b，代入a²+b²-2（a+b）后整理為關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，由配方法求范圍．

解答： 解：由圓x²+y²=1，得圓心（0，0），半徑為1，
∴|OA|=|OB|=1，則△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=

2

，
則圓心（0，0）到直線

2a

x+

b

y=1的距離為

1

2a+b

=

2

2

，即2a+b=2．
∵a＞0，且b＞0，
∴

a＞0 2-2a＞0

，解得0＜a＜1．
把b=2-2a代入a²+b²-2（a+b）得：
a²+b²-2（a+b）=5(a-

3

5

)2-

9

5

．
∵0＜a＜1，
∴-

3

5

＜a-

3

5

＜

2

5

，則5(a-

3

5

)2-

9

5

∈[-

9

5

，0)．
∴a²+b²-2（a+b）的取值范圍是[-

9

5

，0)．
故答案為：[-

9

5

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，訓(xùn)練了利用配方法求最值，解答此題的關(guān)鍵在于求出a的范圍，是中檔題．