Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

），且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，則（　�。�

• A、y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，

  π

  2

  ）上為增函數(shù)
• B、y=f（x）的最小正周期為

  π

  2

  ，且在（0，

  π

  4

  ）上為增函數(shù)
• C、y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，

  π

  2

  ）上為減函數(shù)
• D、y=f（x）的最小正周期為

  π

  2

  ，且在（0，

  π

  4

  ）上為減函數(shù)

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應用,余弦函數(shù)的對稱性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，將x=0代入函數(shù)解析式中的角度中，并令結(jié)果等于kπ（k∈Z），再由φ的范圍，求出φ的度數(shù)，代入確定出函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間確定出函數(shù)的得到遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），可得出（0，

π

2

）?[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），即可得到函數(shù)在（0，

π

2

）上為減函數(shù)，進而得到正確的選項．

解答： 解：∵f（x）=

3

sin（2x+φ）+cos（2x+φ）
=2[

3

2

sin（2x+φ）+

1

2

cos（2x+φ）]
=2sin（2x+φ+

π

6

），
∴ω=2，
∴T=

2π

2

=π，
又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，
∴φ+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
即φ=kπ+

π

3

（k∈Z），
又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），
解得：kπ≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z），
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），
又（0，

π

2

）?[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴函數(shù)在（0，

π

2

）上為減函數(shù)，
則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，

π

2

）上為減函數(shù)．
故選：C．

點評：本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期性及其求法，余弦函數(shù)的對稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，其中將函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是本題的突破點．