Question

己知集合A={x||x-1|＜1}，B={x|

2

x-1

≥1}，C={x|lg2ax＜lg（a+x）（a＞0）}，若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,其他不等式的解法

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)不等式之間的關(guān)系，求出集合A，B，C，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：由已知A={x||x-1|＜1}，={x|0＜x＜2}，
B={x|

2

x-1

≥1}={x|

2

x-1

-1=

3-x

x-1

≥0}={x|1＜x≤3}，所以A∩B={x|1＜x＜2}，
C={x|lg2ax＜lg（a+x）（a＞0）}={x|0＜2ax＜a+x}={x|x＞0且（2a-1）x＜a}，
因?yàn)椤皒∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要條件，
所以A∩B?C，
①當(dāng)2a-1＞0，即a＞

1

2

，0＜x＜

a

2a-1

，即C={x|0＜x＜

a

2a-1

}，此時(shí)滿足

a

2a-1

≥2，解得

1

2

＜a≤

2

3

．
②當(dāng)2a-1≤0，即0＜a≤

1

2

，C={x|x＞0}，此時(shí)滿足條件2，
綜上0＜a≤

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出集合A，B，C是解決本題的關(guān)鍵．