Question

（1）化簡(jiǎn)：sin²αsin²β+cos²αcos²β-

1

2

cos2αcos2β；
（2）已知f（x）=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）把原式的第一、二項(xiàng)的各因式分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，提取

1

4

后，括號(hào)里邊抵消合并后，再利用乘法分配律把

1

4

乘到括號(hào)里邊的每一項(xiàng)，并把所得的積相加，抵消合并可得出化簡(jiǎn)結(jié)果．
（2）利用二倍角公式、兩角和差的三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=

2

sin（2x-

π

4

）-1，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，再根據(jù)sinx≠0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）sin²αsin²β+cos²αcos²β-

1

2

cos2αcos2β
=

1-cos2α

2

•

1-cos2β

2

+

1+cos2α

2

•

1+cos2β

2

-

1

2

cos2αcos2β 
=

1

4

[（1-cos2α）（1-cos2β）+（1+cos2α）（1+cos2β）]-

1

2

cos2αcos2β 
=

1

4

（2+2cos2αcos2β ）-

1

2

cos2αcos2β=

1

2

．
（2）∵f（x）=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

=（sinx-cosx）•2cosx=sin2x-2•

1+cos2x

2

 
=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

．
再根據(jù)sinx≠0，求得 x≠kπ，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ）、（kπ，kπ+

3π

8

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、兩角和差的三角公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．