Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=2處取得極值4，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，3]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，由已知條件得

f′(2)=12a+4b+c=0 f(2)=8a+4b+2c=4 c=0

，由此能求出f（x）=-x³+3x²．
（2）f′（x）=-3x²+6x，令f′（x）=0，得x=0，或x=2，由此能求出y=f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵在x=2處取得極值4，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，
∴

f′(2)=12a+4b+c=0 f(2)=8a+4b+2c=4 c=0

，解得a=-1，b=3，c=0．
∴f（x）=-x³+3x²．（7分）
（2）∵f′（x）=-3x²+6x，
∴令f′（x）=0，得x=0，或x=2，
∵f（-3）=27+27=54，
f（0）=0，
f（2）=-8+12=4，
f（3）=-27+27=0，
∴y=f（x）的值域為[0，54]．（14分

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．